DISEÑO DE UN TRANSFORMADOR TOROIDAL DE POTENCIA (Parte 1)

Por transformador toroidal de potencia me refiero a transformadores pequeños monofásicos pero no destinados a medición (corriente) como es lo que habitualmente fabricamos en nuestra empresa sino en transformadores para alimentación de diversos tipos de carga, transformadores monofásicos convencionales construidos en núcleos toroidales. Los métodos convencionales son del tipo paso a paso, eligiendo ciertos parámetros como pueden ser las dimensiones del núcleo y en un paso siguiente el circuito eléctrico. La idea de este método propuesto consiste en dimensionar en un paso único condicionando dimensiones (proporciones) y poniendo los pesos de los circuitos eléctrico y magnético en función uno del otro tomando como consigna los precios relativos del mercado con la intención de obtener el resultado óptimo con el menor costo posible. 
Aquí presentamos la primera parte del artículo. 

METODO DE CÁLCULO DE UN TRANSFORMADOR TOROIDAL

Criterio Técnico – Económico

Luis Octavio Corvalán
Diseñador de Máquinas Eléctricas

Introducción:

            Este trabajo pretende incorporar un criterio técnico integral al diseño de un transformador de tipo toroidal e incorporar en el proceso un criterio económico. Las máquinas eléctricas son una combinación de circuitos magnéticos y circuitos eléctricos y la potencia aparente (VA) que entregan es proporcional al producto de dos secciones: sección del núcleo y sección del cobre. Desde la definición misma vemos que se pueden obtener resultados técnicamente similares variando los pesos de cada circuito de manera independiente siempre que ese producto de secciones (en cm⁴) se mantenga constante. Para no dejar esa libertad de selección al capricho o gusto del diseñador, este trabajo pretende incorporar un criterio económico. Este criterio va a condicionar la proporción de material magnético y de material eléctrico a emplear a los precios relativos de cada uno. Como tenemos libertad para aumentar o disminuir la cantidad cobre (por nombrar un material clásico de los circuitos eléctricos) siempre que disminuyamos o aumentemos en la proporción adecuada el material del núcleo magnético manteniendo el producto de secciones, vamos a condicionar la proporción ideal de diseño (PID) a la relación de costos de cada material empleado. Esto nos lleva a definir la siguiente ecuación:

(1)    PID = $_cu/$_fe

            Donde $_cu es el precio por unidad (kilogramo) de cobre y $_fe es el precio por kilogramo del material magnético del núcleo. Con este criterio incorporado en nuestro proceso de diseño vamos a obtener un único resultado que, siendo técnicamente lo deseado, es a su vez económicamente óptimo. El motivo de contemplar este aspecto es lograr un único proceso matemático que nos arroje en tiempo real un resultado y que sea obtenido mediante una planilla de cálculo convencional y en un solo paso.

Conceptos Teóricos:

            Empecemos por definir las características generales del transformador. La potencia aparente del transformador monofásico se puede definir desde el primario o desde el secundario:

(2)     P = U₁ .I₁

(3)      P = U₂ .I₂

            Del método general de diseño de transformadores arrancamos analizando los arrollamientos desde un punto de vista genérico y no considerando inicialmente ni el nivel de tensión ni el nivel de corriente de un arrollamiento en particular. A continuación demostramos como llegamos a la definición genérica del circuito eléctrico:

Tensión en bornes de un arrollamiento:

(4)             U = N . e

Donde e es la tensión-espira que es definida por el circuito magnético y N el número de espiras del arrollamiento.

La sección transversal total del cobre será a su vez la suma de la sección de cada alambre por la cantidad total de alambres. Como vemos de las ecuaciones 2 y 3, la potencia aparente del transformador está definida por los parámetros del primario o del secundario. Si consideramos a ambos arrollamientos, vemos que el total del circuito eléctrico contempla el doble de la potencia aparente del transformador. Suponiendo que tanto primario como secundario tienen la misma potencia aparente, la sección transversal de cada arrollamiento será la misma y podemos deducir que la sección transversal total del circuito eléctrico será el doble que la sección de uno de los arrollamientos. Suponiendo que la sección transversal de un arrollamiento de N espiras será:

(5)                S_T1 = S_Ø . N

Donde S_Ø es la sección de un alambre. La sección transversal del circuito eléctrico completo será el doble de este valor:

(6)          S_T = 2 . S_T1  = 2 . S_Ø . N

También podemos definir a S_Ø, la sección de un alambre, en función de la solicitación del cobre, lo que llamamos densidad de corriente cuyo símbolo es σ.

(7)          S_Ø = I/ σ

De donde despejamos el valor de corriente:

(8)          I = S_Ø . σ

Si expresamos S_Ø en función de la sección total del circuito eléctrico resultará  de la ecuación 6:

(9)          S_Ø = S_T/(2.N)

Combinando las ecuaciones 9 con la 8 obtenemos:

(10)          I = S_T/(2.N) . σ

 Vemos que nos referimos en todo momento a la corriente eficaz nominal de uno de los arrollamientos sin especificar cual. Nos resultará indiferente al igual que el número de espiras N correspondiente a ese mismo arrollamiento, sea este primario o secundario.

Ahora introduciendo los valores de las ecuaciones 4 y 10 en la ecuación de potencia aparente (puede ser la 2 o la 3) obtenemos la expresión siguiente:

(11)      P = S_T/(2.N) . σ . N . e

Lo que lleva a:

(12)      P = ½ .  S_T . σ . e

            La tensión espira e que depende de la solicitación del núcleo según la conocida fórmula:

(13)      e = 4,44 . B . f . S_fe . 10^-4

Donde B es la inducción en el circuito magnético medido en Teslas (T), f la frecuencia en (Hz) y S_fe la sección transversal del circuito magnético. Reemplazando la ecuación 13 en la 12 obtenemos:

(14)       P = ½ .  S_T . σ . 4,44 . B . f . S_fe . 10^-4

Resumiendo:

(15)      P = 2,22 . f . σ . B . S_T . S_fe . 10^-4

            Aquí tenemos definido el concepto básico de toda máquina eléctrica y será el punto de partida de nuestro criterio de diseño. De la lectura de la ecuación 15 podemos ver que la potencia aparente de un transformador depende de la frecuencia f, de la solicitación del circuito eléctrico σ, de la solicitación del circuito magnético B y del mencionado producto de secciones S_T . S_fe.

El Proceso de Cálculo:

            Vamos a definir las medidas generales de un transformador toroidal en función de una única medida A que corresponde a la altura axial del núcleo del toroide. Todas las medidas restantes serán definidas como una proporción de esta medida. Empezando por un núcleo del tipo toroidal completamente genérico sus medidas son las que se observan en la figura 1:

Definidas las dimensiones del núcleo las expresamos como una proporción de la dimensión A expresada en (cms). Logramos las siguientes expresiones:

 

Figura 1

(16)         D_int =  d . A

(17)       H_r = h . A

(18)     D_ext = D_int + 2 . H_r = (d + 2h) . A

            Donde d y h son coeficientes de proporcionalidad sin dimensión. Definidas estas medidas podemos definir la sección transversal y el volumen del núcleo:

(19)     S_fe = A . H_r = A  .  h . A = h . A²

(20)      V = π . (D_ext² - D_int²)/ 4 . H_r

            Introduciendo los coeficientes para expresar el volumen en función de A resulta:

(21)      V = π . (h² + d . h) . A³

            El peso del circuito magnético será simplemente el producto del volumen por el peso específico ρ_fe expresado en (grs/cm³). El peso del núcleo expresado en kgs será:

(22)      G_fe = V . ρ_fe /1000

            Como mencionamos en el inicio del artículo, la cantidad de cobre y la de hierro tendrán una proporción óptima desde el punto de vista económico y están relacionadas por la proporción ideal de diseño (PID) de manera que se cumpla:

(23)    G_fe / G_cu = PID = $_cu/$_fe

            Aquí condicionamos el peso del cobre y por ende el volumen y la sección transversal al peso del núcleo de manera tal de eliminarlo como variable independiente.

(24)     G_fe  =  PID . G_cu 

            Planteado este proceso de cálculo vamos a incorporar a la configuración del transformador toroidal las dimensiones que van a definir el volumen de cobre, como puede apreciarse en la figura 2:

Figura 2

            La figura nos permite vincular los volúmenes del circuito eléctrico y el magnético con una única medida que es el diámetro medio. Para ambos casos es bastante aproximado estimar que los volúmenes serán resultado de multiplicar las secciones transversales por la circunferencia media:

(25)     V_fe   =  π . D_med  . S_fe

            Esto en cuanto al volumen del núcleo que expresado en función de A será:

(26)     V_fe   =  π .(d + h). A . h . A²

(27)     V_fe   =  π .(d + h) . h . A³

            Cuando vamos a expresar el volumen del circuito eléctrico debemos tener cuidado con la siguiente diferencia fundamental cuando hablamos de sección transversal. En la figura 3 observamos el recorrido de los conductores y por lo tanto la sección transversal de estos conductores está a 90° respecto de la sección transversal del núcleo. Y esta sección generará el volumen del circuito eléctrico recorriendo otra distancia que se observa en la figura y que llamamos espira media ( EM) pero que utilizaremos más adelante cuando calculemos los parámetros eléctricos. Para la etapa actual del calculo en que estamos determinando primero los pesos de los circuitos, vamos a introducir un concepto que solamente nos servirá de auxiliar de cálculo y que llamaremos sección transversal radial del circuito eléctrico y que representaremos con el símbolo S_rcu. Respecto de esta sección en particular podemos aplicar la ecuación equivalente a la 25 pero para el volumen del circuito eléctrico:

(28)       V_cu  =  π . D_med  . S_rcu

            Como vemos que las ecuaciones 25 y 28 son idénticas salvo que una se refiere a la sección y volumen del núcleo y la otra a la sección y volumen del cobre, podemos concluir que la relación de volúmenes entre ambos circuitos es igual a la relación de secciones. Dicho esto, vamos ahora a relacionar los volúmenes óptimos que ya estamos en condiciones de determinar. Sabemos que los pesos se relacionarán de manera inversa a los costos económicos mediante el parámetro que llamamos proporción ideal de diseño (PID) y que expresamos en la ecuación:

(24)     G_fe  =  PID . G_cu 

            Entonces ahora podemos vincular este parámetro también a los volúmenes de los dos circuitos. Aquí el lector podrá hacer las adaptaciones a los materiales que usará en la construcción del núcleo, que pueden ser muchos, en particular cerámicos y de aleaciones amorfas varias[i], pero en el presente trabajo vamos a suponer para el circuito eléctrico el uso exclusivo de cobre y para el circuito magnético flejes de grano orientado. Estos materiales tienen los siguientes pesos específicos promedios:

(29)      δ_fe = 7,65 grs/cm³

(30)      δ_cu = 8,9 grs/cm³

            Con estos datos podemos ahora reemplazar los pesos de la ecuación 24 por los volúmenes de cada circuito sabiendo que:

(31)        G  =   V . δ

            Entonces, para los materiales elegidos del toroide a diseñar la ecuación 24 quedaría:

(32)     V_fe . δ_fe =  PID . V_cu . δ_cu  

Esto expresado de otra forma:

(33)     V_fe   =   PID . V_cu .  δ_cu /δ_fe

            Como expresamos anteriormente, en este artículo suponemos los circuitos compuestos de cobre y acero al silicio de grano orientado, pero para la generalidad de los casos aquí se usarán las densidades de los materiales a usar en cada aplicación. Esta relación de densidades la podemos incluso incorporar como parámetro:

(34)   R_δ  =  δ_el /δ_mag

            Notemos que aquí no nos referimos específicamente a cobre y hierro en los subíndices de los pesos específicos sino a “eléctrico” y “magnético” para aclarar que se refieren a los materiales constitutivos de esos circuitos, sean cuales fueran. Esta observación debe tenerse en cuenta de idéntica manera al definir el parámetro PID que hace referencia a los costos de los materiales seleccionados. 

            Volviendo al caso de este artículo, la relación de densidades lo obtenemos de los datos de las ecuaciones 29 y 30:

(35)         R_δ  =  1,16

            Reescribiendo la ecuación 33 para estos materiales resulta:

(36)           V_fe   =   1,16 . PID . V_cu

            Y como expresamos al comienzo, las secciones transversales tienen igual relación entre ellas que los volúmenes así que podemos afirmar a continuación que:

(37)           S_fe   =   1,16 . PID . S_rcu

            Y despejando de aquí S_rcu obtenemos:

(38)           S_rcu  =   S_fe/(1,16 . PID)

(39)         S_rcu = h₂.A²/(1,16 . PID)

Resumiendo: Aquí vamos a hacer una descripción de adonde quisimos llegar con el desarrollo hasta ahora. Hemos vinculado primero las solicitaciones de ambos circuitos con la potencia aparente del transformador toroidal. Esta potencia en la gran mayoría de los casos será el dato de partida para el diseño. A continuación vinculamos todas las dimensiones físicas del toroide con una sola dimensión, la altura axial A. Y por último hemos relacionado las secciones transversales de los circuitos eléctrico y magnético entre sí considerando los pesos específicos y el precio de mercado del momento de los materiales seleccionados. Lo que sigue a continuación va a incorporar consideraciones prácticas que hacen a la construcción del transformador y su incidencia en el proceso de cálculo.

El Circuito Eléctrico

            Antes de seguir con el diseño propiamente dicho vamos a estudiar un poco más en profundidad la configuración física del circuito eléctrico y su influencia en la potencia aparente del transformador. Recordemos siempre que la potencia aparente P expresada en (VA) o en (kVA) para los transformadores más grandes es el dato de partida del cálculo. Y el objetivo de este trabajo es que sea el único dato disparador del resultado que produzca una planilla de cálculo una vez definido las proporciones del toroide (d y h) y el precio de los materiales (PID). También para no complicar más las cosas relacionamos a la sección transversal del núcleo S_fe no con la sección transversal del circuito eléctrico S_cu sino con la sección transversal radial S_rcu, un parámetro definido solo para este estudio que reemplazaremos más adelante. Ahora miremos la figura 4 que detalla la sección transversal del núcleo S_fe y la sección transversal radial S_rcu. Vamos a hacer las siguientes consideraciones geométricas:

            Para modelar el transformador real, utilizar dimensiones prácticas y vincular estas dimensiones con las secciones S_fe ,S_cu  y S_rcu vamos a introducir los coeficientes siguientes:

Factor de llenado del cobre (φ_cu): Es la relación entre la sección real neta del circuito eléctrico y la sección efectiva que ocupa. De la figura 2 podemos expresar que:

(40)         φ_cu  = S_rcu/(L_e . H_e - h_r.A² )

donde aquí vinculamos la sección transversal radial del circuito eléctrico S_rcu que se refiere al cobre (o al material conductor que sea) respecto del espacio físico real que ocupa, en nuestro caso el producto L_e . H_e. menos la sección del núcleo. Aquí en un primer momento despreciamos la curvatura de las esquinas del circuito eléctrico, más adelante veremos como influye.

Factor de llenado del hierro (φ_fe): Es la  magnético y la sección efectiva que ocupa. Este parámetro lo veníamos obviando en el desarrollo hasta el momento y lo seguiremos despreciando en el análisis que resta, pero con fines conceptuales es importante mencionarlo. Para núcleos elaborados de cerámica, aleaciones amorfas u otras configuraciones que son moldeadas el factor φ_fe se considera 1. Para el caso de núcleos enrollados de grano orientado, si la fabricación del núcleo es compacta el valor de φ_fe varía entre 0,96-0,98. Vamos, por razones de sencillez, a obviar este parámetro (considerarlo 1) hasta tener completamente desarrollada la matemática. Aquí expresamos la definición en términos matemáticos:

(41)         φ_fe  = S_fe/(A . H_r) = S_fe/(h_r . A²)

La sección transversal del circuito eléctrico: Habíamos definido por sencillez una sección transversal radial del circuito eléctrico que no tiene incidencia en la potencia aparente del transformador pero es sencilla de vincular con la sección transversal del núcleo, tal como hicimos en la ecuación 37. Ahora vamos a relacionar esta sección auxiliar con la sección transversal del circuito eléctrico real que necesitamos para incorporar a la ecuación 15 que será la base de todo nuestro estudio.

            Si notamos en la figura 2, vemos que la sección transversal radial (en rojo) no está centrada respecto de la sección transversal del núcleo (en gris). En la figura 3 analizamos en detalle esta característica.

Figura 3

            Aquí vemos que E_in y E_ex son distintos. Estos valores corresponden a los espesores del circuito eléctrico, las alturas radiales interior y exterior respecto del núcleo toroidal. La real sección transversal del circuito eléctrico lo forma uno de estos espesores al describir una circunferencia completa de un diámetro correspondiente al punto medio de ese espesor. Llamemos D_ei y D_ee a esos diámetros medios correspondientes al punto medio de las dimensiones E_in y E_ex. Aquí podemos definir la sección transversal del circuito eléctrico. Como la disposición del circuito eléctrico es ir envolviendo al circuito magnético tal como se aprecia en la ilustración al comienzo de este trabajo, es correcto afirmar que la sección transversal superior (por fuera del toroide) y la interior deben ser idénticas. 

(40)       S_Ti  =  S_Te

(41)      S_Ti  = π . D_ei . E_in

(42)      S_Te  = π . D_ee . E_ex

            Comparando las 3 ecuaciones podemos concluir que:

(43)       D_ei . E_in     =   D_ee . E_ex

            Dejemos por el momento estas definiciones que nos serán útiles al avanzar el desarrollo y pasemos al cálculo de las dimensiones generales del circuito eléctrico L_e y H_e

            En este estudio estamos estimando φ_fe = 1, pero no podemos desestimar el factor de llenado del circuito eléctrico o φ_cu que en transformadores de este tipo de configuración puede variar entre 0,35-0,45 según el método y maquinaria empleada en la confección del circuito. Entonces ya relacionamos la sección del núcleo con la sección transversal radial según la ecuación (37). Ahora expresemos la Srcu en función de las medidas Le y He despejando de la ecuación (38). La sección transversal corresponde a la sección roja de la figura 4 y podemos expresarla de la siguente manera:

(44)     L_e . H_e = S_rcu/ φ_cu  - h_rA²

^{( Continua en parte 2 )}

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[i] William T. McLyman – Transformer and Inductor Design Handbook – Marcel Dekker Inc. - 1988